티티우스-보데 법칙(Titius-Bode law)과 수열의 관계

티티우스-보데 법칙(Titius-Bode law)이란?

티티우스-보데 법칙은 1766년에 독일의 수학자 요한 다니엘 티티우스(Johann Daniel Titius)가 발견하였으며, 그 후 독일의 천문학자 요한 엘러트 보데(Johann Elert Bode)가 이를 수정하여 널리 알려졌다. 그래서 이 법칙의 이름을 두 학자의 이름을 따서 ‘티티우스-보데 법칙’이라고 하는 것이다. 

 

이 법칙은 태양계 내 행성의 궤도 반지름과 태양으로부터의 평균 거리에 일정한 수열 관계가 있다는 내용을 담고 있다. 티티우스-보데 법칙에 따르면, 태양으로부터의 거리가 0.4, 0.7, 1.0, 1.6, 2.8 등의 일정한 배율로 증가하는 수열 관계가 있는데, 이러한 수열 관계에 따라 티티우스와 보데는 새로운 행성을 예측했다. 수성에서 해왕성에 이르는 행성들 궤도장반경은 이 규칙에 맞아 들어간다. 앞의 수에 2배가 되는 0, 3, 6, 12... 와 같은 수열을 적은 후, 4를 더하고, 그 결과를 10으로 나눠 보면 태양으로부터 거리가 잘 맞아떨어지지만, 2.8AU에 해당하는 행성이 없다는 것을 알게 될 것이다. 하지만 이 법칙을 통한 예측으로 천왕성(Uranus)을 발견하는 데 성공하였고, 화성과 목성 사이에 존재하는 소행성대를 발견했다.

결국 이 법칙은 모든 행성의 궤도를 설명하지는 못하며, 이후의 탐사에서도 일부 행성의 궤도가 이 법칙과 일치하지 않는 것으로 밝혀졌다. 하지만 해왕성과 명왕성(현재는 왜소 행성)에는 맞지 않았다. 각 행성들의 공간 분포 또한 정확하게 예측할 수 없으므로 티티우스-보데 법칙은 단지 행성의 위치에 관한 대략의 길잡이 역할을 한다고 볼 수 있다. 이에 이 법칙은 흥미롭기는 하지만 행성들의 공간 배치에 대한 근거는 될 수 없다.

 

 

티티우스와 보데가 함께 만든 것일까?

1766년에 독일의 수학자 요한 다니엘 티티우스(Johann Daniel Titius)는 <Anmuthige Vermuthung einer uranischen Republik>라는 책에서 이 법칙을 발표했다. 이 책에서 티티우스는 태양계 행성의 평균 거리와 궤도 반지름 간에 일정한 수열 관계가 있다는 것을 제시했다. 그러고 나서 독일의 천문학자 요한 엘러트 보데가 태양계 천체의 위치를 결정한다는 내용을 수정하여 '보데-티티우스 법칙'을 널리 알리게 된 것이다. 이를 기반으로 엘러트는 천체 발견을 위한 조사를 진행하였고, 천왕성, 세레스, 팔레스 등의 천체 발견에 큰 기여를 하였다. 또한 엘러트는 천체의 위치와 이동을 정확하게 측정하기 위한 천문학적 좌표계를 개발하였다. 이후 엘러트는 천문학 연구뿐 아니라 기상학, 지리학, 수학 등 다양한 분야에서 활동하였으며, 그의 업적은 현재도 많은 관심을 받고 있다.

 

티티우스-보데 법칙 속의 수열은?

티티우스-보데 법칙에서 언급된 수열은 기하급수적으로 증가하는 수열로, 일반적으로 ‘등비수열’이라고 불린다. 등비수열은 각 항이 이전 항에 대해 일정한 비(ratio)를 가지는 수열이다. 즉, 등비수열의 일반항은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

a₁, a₂, a₃,..., aᵢ,...

 

일반항 식을 보면 다음과 같다.

aᵢ = a₁r^(i-1)

 

여기서 a₁은 첫 항, r은 등비(공비)를 나타낸다. 이러한 등비수열에서는 각 항이 이전 항에 대해 일정한 배율로 증가하기 때문에, 이 항들의 비율이 고정된다. 따라서 이러한 수열은 규칙적이며, 수학적으로 다루기 쉽다.

티티우스-보데 법칙에서 언급된 등비수열의 경우, 이전 항에 대해 0.4만큼 증가하도록 r 값이 설정되어 있다. 따라서 이 법칙에서 제시된 수열은 기하급수적으로 증가하는 수열로, 등비수열에 속한다. 이러한 등비수열을 통해 천문학자들은 새로운 행성의 궤도 반지름을 예측할 수 있었지만, 모든 행성의 궤도가 이러한 수열과 일치하지 않는 것으로 밝혀졌다.

 

 

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